\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{makecell}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }
\newcommand{\matrx}[1]
{
	\ensuremath
	{
		\left (
		\begin{matrix}
			#1
		\end{matrix}
		\right)
	}
}

\begin{document}
	\section{“参数化体积”；换元法}
	\footnote
	{
		参考：
		Thomas《微积分》，
		本文使用AI辅助。
	}
	我们先前已经了解了如何计算曲线的长度与曲线的面积，那时我们使用了参数化曲线、参数化曲面的思想。
	现在，我们能不能把类似的过程推广到体积呢？
	可以是可以，但是似乎没有人称其为“参数化体积”，这种方法的正式名称似乎是“换元法”。
	
	
	\subsection{体积}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{volume}
		\caption{参数空间与几何空间中的体积对应}
		\label{fig:volume}
	\end{figure}
	
	最后我们探讨不规则体的体积。
	假设$V$代表一个体积，其形状由如下等式与参数$u,v,w$确定：
	\begin{equation}
		V: \bvec r = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))^T
	\end{equation}
	按照以往的套路，我们将几何空间$x,y,z$的积分转为参数空间$u,v,w$的积分。
	因此，我们要找到这两个空间中，对应体积的“比例系数”。
	在参数空间中，一个小体积的三个边向量是$\dd \bvec u, \dd \bvec v, \dd \bvec w$；
	而在几何空间中，同一个小体积的边向量是$\pdv{\bvec r}{u}\dd u,\pdv{\bvec r}{v}\dd v,\pdv{\bvec r}{w}\dd w$：
	\begin{equation}
		\pdv{\bvec r}{u} = (\pdv{x}{u},\pdv{y}{u},\pdv{z}{u})^T,
		\pdv{\bvec r}{v} = (\pdv{x}{v},\pdv{y}{v},\pdv{z}{v})^T,
		\pdv{\bvec r}{w} = (\pdv{x}{w},\pdv{y}{w},\pdv{z}{w})^T,
	\end{equation}
	要根据边向量计算体积，只需使用点乘和叉乘的混合乘法。
	在参数空间中，$\dd \bvec u, \dd \bvec v, \dd \bvec w$是两两正交的，因此
	\begin{equation}
		\dd V_{uvw} = \abs{\dd \bvec u \cdot (\dd \bvec v \times \dd \bvec w)} = \dd u \dd v \dd w
	\end{equation}
	而在几何空间中，
	\begin{equation}
		\dd V_{xyz} = \abs{\pdv{\bvec r}{u} \dd u \cdot (\pdv{\bvec r}{v} \dd v \times \pdv{\bvec r}{w}\dd w)} = \abs{J} \dd V_{uvw}
	\end{equation}
	其中$\abs{J}$是Jacobi行列式:
	\begin{equation}
		\abs{J} 
		= 
		\pdv{\bvec r}{u} \cdot (\pdv{\bvec r}{v} \times \pdv{\bvec r}{w})
		= 
		\left |
		\begin{matrix}
			\pdv{x}{u} & \pdv{x}{v} & \pdv{x}{w} \\
			\pdv{y}{u} & \pdv{y}{v} & \pdv{y}{w} \\
			\pdv{z}{u} & \pdv{z}{v} & \pdv{z}{w} \\
		\end{matrix}
		\right |
	\end{equation}
	因此，一个不规则体的体积也可以通过换元法计算：
	\begin{equation}
		I = \iiint_V  \dd x \dd y \dd z = \iiint \abs{J} \dd u \dd v \dd w
	\end{equation}
	
	
	\subsection{例子：标量场体积分}
	我们可以使用换元法计算不规则体区域内的标量场体积分：
	\begin{equation}
		I = \iiint_V F(x,y,z) \dd x \dd y \dd z
		= \iiint F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \abs{J} \dd u \dd v \dd w
	\end{equation}
	其中$ F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))=F(u,v,w)$需要结合标量场方程$F=F(x,y,z)$与“转换规则”  $\bvec r(u,v,w) = (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))^T$写出。
	
	
	\subsection{例子：直角坐标转柱坐标积分}
	我们有时在柱坐标系中求解某些特定的积分问题。
	事实上，这种直角坐标转柱坐标积分就相当于一种换元法，
	其将在几何空间$x,y,z$中的积分转为在参数空间$r,\theta,z$进行：
	\begin{equation}
		I = \iiint_V  F(x,y,z) \dd x \dd y \dd z
		= \iiint F(x(r,\theta,z),y(r,\theta,z),z(r,\theta,z)) r \dd r \dd \theta \dd z
	\end{equation}
	其中有转换规则
	\begin{equation}
		x = r \cos \theta, y = r \sin \theta, z = z
	\end{equation}
	以及Jacobi行列式：
	\begin{equation}
		J 
		= 
		\left |
		\begin{matrix}
			\pdv{x}{u} & \pdv{x}{v} & \pdv{x}{w} \\
			\pdv{y}{u} & \pdv{y}{v} & \pdv{y}{w} \\
			\pdv{z}{u} & \pdv{z}{v} & \pdv{z}{w} \\
		\end{matrix}
		\right |
		= \left |
		\begin{matrix}
			\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\
			\sin \theta & r \cos \theta & 0 \\
			0 & 0 & 1
		\end{matrix}
		\right |
		= r
	\end{equation}
	按照换元法的思路思考时，我们可以“忘记”$r,\theta,z$的具体含义，就把他们当作参数空间中平平无奇的两两正交的坐标。
	如此推导得到的柱坐标积分公式和我们先前学习的完全一样！
\end{document}
